이 강좌에서는 극한의 정의를 사용하여 자연지수함수 \( e^x \)의 도함수를 다룹니다. 또한 상세한 예제와 풀이를 포함하여 합성 지수함수 형태인 \( e^{u(x)} \)의 도함수를 다룹니다.
1. 극한의 정의를 이용한 ex 도함수의 증명
함수 \( f(x) \)의 도함수의 정의는 다음과 같습니다:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]\( f(x) = e^x \)라고 합시다. 그러면:
\[ \begin{aligned} f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^x}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{e^x e^h - e^x}{h} \quad \text{(} e^{x+h} = e^x e^h \text{ 성질 이용)} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{e^x (e^h - 1)}{h} \\ &= e^x \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} \end{aligned} \]이제 극한 \( \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} \)를 계산합니다. \( y = e^h - 1 \)이라 하면, \( \lim_{h \to 0} y = 0 \)이 됩니다. 그러면:
\[ e^h = y + 1 \implies h = \ln(y + 1) \] \[ \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = \lim_{y \to 0} \frac{y}{\ln(y+1)} \] \[ = \lim_{y \to 0} \frac{1}{\frac{1}{y} \ln(y+1)} = \lim_{y \to 0} \frac{1}{\ln((y+1)^{1/y})} \]오일러 상수 \( e \)의 정의를 사용합니다:
\[ e = \lim_{m \to 0} (1 + m)^{1/m} \implies \lim_{y \to 0} (y+1)^{1/y} = e \] \[ \lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = \frac{1}{\ln e} = 1 \]
공식:
\[ f'(x) = e^x \]
결론: 상수 \( k \)에 대하여 \( f(x) = k e^x \) 형태의 모든 함수는 동일한 도함수에 \( k \)가 곱해진 형태를 갖습니다.
2. 합성함수 y = eu(x)의 도함수
함수 \( u(x) \)에 대하여 연쇄 법칙을 사용합니다:
\[ \frac{d}{dx} e^{u(x)} = \frac{d}{du} e^{u} \cdot \frac{du}{dx} = e^{u(x)} \frac{du}{dx} \]
연쇄 법칙 공식:
\[ \frac{d}{dx} e^{u(x)} = e^{u(x)} \frac{du}{dx} \]
3. 풀이가 포함된 예제
풀이 예제: 합성 지수함수 미분하기
다음 함수의 도함수를 구하세요:
- \( f(x) = e^{x^3 - 2x + 3} \)
- \( g(x) = e^{\sqrt{x^2 + 1}} \)
- \( h(x) = e^{\frac{x}{x-2}} \)
풀이:
-
\( u(x) = x^3 - 2x + 3 \implies \frac{du}{dx} = 3x^2 - 2 \)
\[ \frac{d}{dx} f(x) = e^{u(x)} \frac{du}{dx} = (3x^2 - 2) e^{x^3 - 2x + 3} \] -
\( u(x) = \sqrt{x^2 + 1} \implies \frac{du}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \)
\[ \frac{d}{dx} g(x) = e^{u(x)} \frac{du}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \, e^{\sqrt{x^2 + 1}} \] -
\( u(x) = \frac{x}{x-2} \implies \frac{du}{dx} = -\frac{2}{(x-2)^2} \)
\[ \frac{d}{dx} h(x) = e^{u(x)} \frac{du}{dx} = -\frac{2}{(x-2)^2} \, e^{\frac{x}{x-2}} \]